GMAT Quant 必須公式・解法集

エンジニアバックグラウンドの強みを活かしつつ、GMAT 特有の出題パターンに対応する。

1. Algebra（代数）

1.1 二次方程式

• 解の公式: x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
• 判別式: D = b² - 4ac
  • D > 0: 異なる2実数解
  • D = 0: 重解
  • D < 0: 実数解なし
• 解の和と積: x₁ + x₂ = -b/a, x₁ × x₂ = c/a

1.2 因数分解の重要パターン

• a² - b² = (a+b)(a-b)
• a² + 2ab + b² = (a+b)²
• a² - 2ab + b² = (a-b)²
• a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)
• a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)
• (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

1.3 不等式

• |x| < a → -a < x < a
• |x| > a → x < -a または x > a
• (a+b)² ≥ 0 → a² + b² ≥ 2ab
• AM-GM: (a+b)/2 ≥ √(ab) （a, b ≥ 0）

1.4 指数・対数

• a^m × a^n = a^(m+n)
• a^m / a^n = a^(m-n)
• (a^m)^n = a^(mn)
• a^0 = 1 (a ≠ 0)
• a^(-n) = 1/a^n
• log(ab) = log(a) + log(b)
• log(a/b) = log(a) - log(b)
• log(a^n) = n·log(a)

2. Arithmetic（算術）

2.1 因数・倍数

• GCD（最大公約数）× LCM（最小公倍数）= a × b
• 整数 N の正の約数の個数 = (a₁+1)(a₂+1)...(aₙ+1)
  • N = p₁^a₁ × p₂^a₂ × ... × pₙ^aₙ の素因数分解形

2.2 整数の性質

• 奇数 + 奇数 = 偶数
• 奇数 × 奇数 = 奇数
• 連続する n 個の整数の積は n! で割り切れる
• 3 で割り切れる: 各桁の和が3の倍数
• 9 で割り切れる: 各桁の和が9の倍数
• 4 で割り切れる: 下2桁が4の倍数
• 8 で割り切れる: 下3桁が8の倍数
• 11 で割り切れる: 各桁を交互に+/-した値が11の倍数

2.3 素数

• 30 までの素数: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
• 50 までの素数: 上 + 31, 37, 41, 43, 47
• 100 までの素数: 上 + 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

2.4 分数・小数・パーセント

• % 増加: (新-旧)/旧 × 100%
• % 減少: (旧-新)/旧 × 100%
• 分数→小数の暗記
  • 1/2 = 0.5
  • 1/3 = 0.333...
  • 1/4 = 0.25
  • 1/5 = 0.2
  • 1/6 = 0.166...
  • 1/7 = 0.1428...
  • 1/8 = 0.125
  • 1/9 = 0.111...
  • 1/12 = 0.0833...

3. Geometry（幾何）

3.1 三角形

• 三角形の内角の和: 180°
• 三平方の定理: a² + b² = c²
• 特殊三角形:
  • 30-60-90 → 1 : √3 : 2
  • 45-45-90 → 1 : 1 : √2
• 三角形の面積: (1/2) × 底辺 × 高さ
• ヘロンの公式: √(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = (a+b+c)/2

3.2 円

• 円周: 2πr
• 面積: πr²
• 円弧の長さ: 2πr × (θ/360°)
• 扇形の面積: πr² × (θ/360°)
• 円周角の定理: 円周角 = 中心角 / 2

3.3 立体図形

• 直方体:
  • 体積: l × w × h
  • 表面積: 2(lw + wh + lh)
  • 対角線: √(l² + w² + h²)
• 立方体:
  • 体積: a³
  • 表面積: 6a²
• 円柱:
  • 体積: πr² × h
  • 表面積: 2πr² + 2πrh
• 球:
  • 体積: (4/3)πr³
  • 表面積: 4πr²

3.4 座標平面

• 2点間の距離: √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)
• 中点: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
• 直線の傾き: m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)
• 直線の式: y - y₁ = m(x - x₁)
• 平行線: 傾き同じ
• 垂直線: 傾きの積 = -1

4. Word Problems（文章題）

4.1 速度・距離・時間

• 距離 = 速度 × 時間
• 平均速度: 総距離 / 総時間（注意: 速度の平均ではない）
• 相対速度:
  • 同方向: |v₁ - v₂|
  • 反対方向: v₁ + v₂

4.2 仕事算

• 1人で完了するのに t 時間 → 1時間あたり 1/t の仕事
• 複数人での合計仕事率 = Σ(1/tᵢ)

4.3 混合・濃度

• 濃度 = 溶質 / 溶液 × 100%
• 異なる濃度を混合: 加重平均
• W₁C₁ + W₂C₂ = (W₁+W₂)C_avg

4.4 比例・反比例

• 正比例: y = kx
• 反比例: y = k/x
• 比例配分: a:b に分けると、それぞれ a/(a+b), b/(a+b)

4.5 利息

• 単利: A = P(1 + rt)
• 複利: A = P(1 + r)^t
• 半年複利: A = P(1 + r/2)^(2t)

5. Statistics（統計）

5.1 中心傾向

• 平均（Mean）: 合計 / 個数
• 中央値（Median）: 並べた時の真ん中
  • n が偶数: 真ん中2つの平均
• 最頻値（Mode）: 最も頻出する値

5.2 ばらつき

• 範囲（Range）: 最大値 - 最小値
• 分散（Variance）: σ² = Σ(xᵢ-μ)² / n
• 標準偏差（SD）: σ = √(分散)

5.3 正規分布の経験則

• 平均±1σ 内: 約 68%
• 平均±2σ 内: 約 95%
• 平均±3σ 内: 約 99.7%

5.4 重要な性質

• 全データに c を加える → 平均は +c, SD は変化なし
• 全データに c を掛ける → 平均は ×c, SD は ×|c|
• 中央値は外れ値に影響されにくい

6. Probability & Combinatorics（確率・組み合わせ）

6.1 順列・組み合わせ

• 順列（Permutation）: P(n, r) = n! / (n-r)!
  • 「n個から r 個並べる」
• 組み合わせ（Combination）: C(n, r) = n! / (r! × (n-r)!)
  • 「n個から r 個選ぶ」（順序関係なし）
• C(n, r) = C(n, n-r)

6.2 確率の基本

• P(A) = 望ましい結果 / 全体
• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• 独立事象: P(A and B) = P(A) × P(B)
• 排反事象（mutually exclusive）: P(A or B) = P(A) + P(B)
• 一般加法定理: P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B)
• 条件付き確率: P(A|B) = P(A and B) / P(B)
• 余事象: P(not A) = 1 - P(A)

6.3 重要パターン

• 少なくとも1つは...: P = 1 - P(全て×)
• 男女混合の組み合わせ: 場合分け
• 同じ要素を含む順列: n! / (n₁! × n₂! × ...)

7. Sets（集合）

7.1 ベン図

• 2集合: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
• 3集合: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |B ∩ C| - |C ∩ A| + |A ∩ B ∩ C|

8. 数列（Sequences）

8.1 等差数列（Arithmetic）

• aₙ = a₁ + (n-1)d
• 和: Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2 = n × 平均

8.2 等比数列（Geometric）

• aₙ = a₁ × r^(n-1)
• 和: Sₙ = a₁(1 - rⁿ) / (1 - r) （r ≠ 1）
• 無限等比和（|r| < 1）: S∞ = a₁ / (1 - r)

9. GMAT 特有の解法テクニック

9.1 Plug-in 法（数値代入）

• 文字式の問題で、簡単な数を代入して答えを絞る
• 例: x = 2 を代入して各選択肢を確認

9.2 Backsolving（逆算）

• 選択肢から答えを当てる
• 中央値（C）から始めて、上下に動かす

9.3 比率の活用

• 「a : b = 3 : 5」なら a = 3k, b = 5k と置く

9.4 単位の確認

• 距離 / 時間 = 速度（km/h）など、単位整合性を必ず確認

9.5 Estimating（概算）

• 詳細計算前に「答えはおおよそ X」を予測

10. よくある罠（GMAT 特有）

10.1 「正の整数」「整数」「実数」の区別

• 問題文の「positive integer」「integer」「real number」「rational」を必ず確認

10.2 ゼロ・負数の扱い

• 「a > b なら a² > b²」は真ではない（負数考慮）
• 「a > 0」の条件があるかどうかで答え変わる

10.3 単位ミス

• 速度 km/h vs m/s の換算
• 時間 hr vs min の換算

10.4 Data Sufficiency 特有の罠

• 「条件1だけ」「条件2だけ」「両方」「どちらか」のチェック手順
• 条件を「組み合わせる」前に「個別」で評価

11. Quant 高得点のコツ

11.1 時間配分

• 1問あたり 平均 2分10秒
• 簡単問題は 1分以内
• 難問は最大 3分

11.2 解けない問題の処理

• 30秒以内に解法浮かばないなら、Plug-in or 推測
• 飛ばす問題は 1セクションあたり 1-2問まで

11.3 計算ミス対策

• 計算前に「全体の流れ」を頭に描く
• 重要な計算は紙に書く（暗算しない）
• 答えの妥当性確認（負数・桁数）

11.4 公式の暗記

• このページの公式は全て暗記
• Anki カードで反復学習推奨

12. 暗記すべき数値

12.1 平方根

• √2 ≈ 1.414
• √3 ≈ 1.732
• √5 ≈ 2.236
• √7 ≈ 2.646
• √10 ≈ 3.162

12.2 立方根

• ∛2 ≈ 1.26
• ∛3 ≈ 1.44
• ∛5 ≈ 1.71

12.3 円周率関連

• π ≈ 3.14159
• π² ≈ 9.87
• 2π ≈ 6.28
• π/2 ≈ 1.57

12.4 重要な乗算

• 12 × 12 = 144
• 13 × 13 = 169
• 14 × 14 = 196
• 15 × 15 = 225
• 16 × 16 = 256
• 17 × 17 = 289
• 18 × 18 = 324
• 19 × 19 = 361
• 20 × 20 = 400
• 25² = 625
• 50² = 2500
• 100² = 10000

12.5 累乗

• 2^10 = 1024
• 3^5 = 243
• 5^4 = 625
• 7^3 = 343

13. 学習ロードマップ

Phase 1: 基礎構築（4週間）

• 公式の暗記
• Manhattan Foundations of Math 完了
• Khan Academy で苦手分野を補強

Phase 2: 全範囲1巡（6週間）

• Manhattan All the Quant
• OG Quant 全問題

Phase 3: 弱点克服（4週間）

• 5 lb. Book of GMAT Practice Problems
• 弱点分野の特化問題

Phase 4: 応用・高難度（2週間）

• Manhattan Advanced Quant
• GMAT Club 700+ Problems

Phase 5: 仕上げ（2週間）

• 公式模試で時間配分確認
• 弱点ノートの最終確認